Л. П. Ярославский, профессор, доктор физико-математических наук, Израиль.
Математик о математике и математиках.
Памяти В.И. Арнольда
3 июня 2010 г. пришла печальная весть. В Париже умер Владимир Игоревич Арнольд, замечательный математик, звезда самого высокого мирового класса.
Первый раз я услышал о В. Арнольде от своей матери. Она была учительницей математики. Где-то в году 1953-54 она мне рассказывала о молодом студенте Московского Университета, которому удалось решить тринадцатую проблему Гильберта. Что это за проблема, я не знал, но на меня этот рассказ произвёл тогда такое впечатление, что я запомнил его на всю жизнь. Потом через много лет в Париже мне довелось участвовать в работе международной комиссии, которая заслушивала отчет математического отдела Университета Дофин, где, как оказалось, работал по полгода В.И. Арнольд. Я представился ему, рассказав эту историю. Мы немного поговорили, и, в частности, о том, чем я занимался, и на меня произвело впечатление, как быстро и глубоко он понимал то, что я ему рассказывал.
Потом в 1997 и 1998 году я по три с половиной месяца жил в Париже и ещё пару раз встречался с В. И. по разным поводам.
Я, конечно, не могу причислить себя к кругу его знакомых. Но он и не является для меня просто абстрактной фигурой знаменитого математика.
Ему было всего 73 года, когда он умер. О нём уже написаны и ещё много раз будут написаны его учениками и коллегами-математиками и физиками поминальные статьи о его уникальном вкладе в современную математику и теоретическую физику. Но недавно в интернете я наткнулся на видозапись его беседы с С.П. Капицей в программе «Очевидное – невероятное» 26 декабря 2009 г., всего за пять с небольшим месяцев до его смерти, и то, что он говорил в этой беседе о математиках, математике, и её роли и нынешнем положении с математическом образованием было так созвучно мне, и то, как молодо он там выглядел, вызвало у меня потребность вспомнить услышанное и записать для себя и поделиться этим с другими.
Я привожу здесь буквальные выдержки из его выступлений и интервью, чтобы не пересказывать своими словами. Они взяты из разных мест и сгруппированы так, как мне показалось лучше для передачи его воззрений, которые мне интересны и созвучны. Это всё цитаты, так что я не использую кавычки. Есть только несколько моих собственных примечаний, которые я заключил в скобки, предварил буквами Л.Я.
О французской науке и ментальности
Типичный пример французской ограниченности – недавняя дискуссия в Академии Наук. Громов был ее иностранным членом, но недавно он принял французское гражданство и не мог далее оставаться иностранным членом французской Академии. Его надо было переводить в статус обычного члена Академии. Французские математики, однако, возражали, заявив, что «эти места предназначены для настоящих французов». По-моему, уровень «настоящих» французских кандидатов не мог и сравниться с уровнем Громова – одного из ведущих математиков мира. Но он до сих пор не член Академии»
У французов господствует мнение, что все научные открытия и изобретения всегда создавались только ими. В центре Парижа имеется мемориальная доска «французскому изобретателю «радио», а в политехническом музее — «первый» самолет с мотором (паровым). Недавно я прочитал в физическом французском журнале статью, доказывающую, что вся математическая слава Ньютона — дутая во-первых, и создана французом во-вторых (Аруэтом, более известным под своим псевдонимом: Вольтер).
В апреле французское министерство по науке, а также и органы безопасности, прислали мне приглашение принять участие в работе их комиссии, которая очень важна (и потому что они знают, что я занят, если я не смогу прийти, то чтобы ученика прислал, который бы мое мнение там представил, потому что им очень важно знать мое мнение), вот какая комиссия. Комиссия по защите наследства французской науки от иностранцев.
Борьба с космополитизмом, которая была у нас в конце сороковых годов, дошла до Франции, но почему-то только сейчас. Хотя у них, конечно, очень много всякой ксенофобии и того, чтобы найти всюду, что открыл любую вещь обязательно француз, например, у них есть свой изобретатель радио — ни Попов, ни Маркони не признается — у них есть свой памятник около Люксембургского вокзала в Париже человеку, который «изобрел радиолокацию», и так далее — все сделали французы.
Я в работах этого антикосмополитического комитета не участвовал. Но на судьбу российских ученых заграницей подобные ксенофобские тенденции могут влиять резко отрицательно.
О математике и математическом образовании
Я всегда считал, что математика — часть физики. Физика — экспериментальная, естественная наука, часть естествознания. Математика — это та часть физики, в которой эксперименты дешевы. Тождество Якоби (вынуждающее высоты треугольника пересекаться в одной точке) — такой же экспериментальный факт, как то, что Земля кругла. Но обнаружить его можно с меньшими затратами.
Так же, как я считаю, нет «теоретической» науки и «прикладной». Я полностью согласен с великим Пастером, который сказал: «Прикладных наук никогда не было, нет и не будет, потому что есть наука и есть ее приложения».
В середине двадцатого века была предпринята попытка разделить математику и физику. Последствия оказались катастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с половиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления ни о каких других науках. Они начали учить своей уродливой схоластической псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников. Поскольку ни для преподавания, ни для приложений в каких-либо других науках схоластическая, отрезанная от физики, математика не приспособлена, результатом оказалась всеобщая ненависть к математикам — и со стороны несчастных школьников (некоторые из которых со временем стали министрами), и со стороны пользователей.
Уродливое здание, построенное замученными комплексом неполноценности математиками-недоучками, не сумевшими своевременно познакомиться с физикой, напоминает стройную аксиоматическую теорию нечетных чисел. Ясно, что такую теорию можно создать и заставить учеников восхищаться совершенством и внутренней непротиворечивостью возникающей структуры (в которой определена, например, сумма нечетного числа слагаемых и произведение любого числа сомножителей). Четные же числа с этой сек- тантской точки зрения можно либо объявить ересью, либо со временем ввести в теорию, пополнив ее (уступая потребностям физики и реального мира) некоторыми «идеальными» объектами.
К сожалению, именно подобное уродливое извращенное построение матема тики господствовало в преподавании математики в течение десятилетий. Возникнув первоначально во Франции, это извращение быстро распростра нилось на обучение основам математики сперва студентов, а потом и школьников всех специальностей (сперва во Франции, а потом и в других странах, включая Россию). Ученик французской начальной школы на вопрос «сколько будет 2+3» ответил: «3+2, так как сложение коммутативно». Он не знал, чему равна эта сумма, и даже не понимал, о чем его спрашивают!
….Во время письменного экзамена парижский студент спрашивает меня: «Профессор, я нахожусь в затруднении: скажите, четыре седьмых меньше или больше единицы?». Это студент четвертого курса, математик! Он провел сложные вычисления, решил дифференциальное уравнение и получил верную цифру — четыре седьмых. Но дальнейшие его расчеты шли двумя путями в зависимости от того, больше или меньше единицы оказывается полученный результат. Все, чему я его учил — а это дифференциальные уравнения, интегралы и так далее, — он понял, но я его не учил дробям, и дробей он не знает…
По сути дела, вся французская наука началась с Рене Декарта. Он — в ее основе. И он же — причина ее гибели. Декарт провозгласил ряд принципов, которым и сегодня следуют ученые Франции. Первый принцип: «Не имеет никакого значения соответствие исходных положений науки с какой-либо реальностью». То есть произвольное высказывание путем всевозможных преобразований превращается в новое высказывание. Вот и все! Когда Ньютон это прочитал, у него волосы встали дыбом. Он вскипел и заявил, что данный принцип губит всю физику… Второй принцип Декарта: «Столь же мало смысла имеет сравнивать с экспериментом выводы наших теорий». Значит, никакого реального значения наши исследования не имеют… Третий принцип: «Чтобы математика стала наукой, надо прежде всего изгнать из нее чертежи». Расшифровка этого принципа показывает, что надо избегать эксперимента и выключить из исследования воображение… Четвертый принцип: «Надлежит немедленно и навсегда исключить все методы обучения. Только мой метод является основательным, серьезным, научным, разрешенным. Преимущества моего метода состоят в том, что это единственный демократический метод. С его помощью любая посредственность получит такие же результаты, как и самый умный ученик». Всего у Декарта было около двадцати принципов, я привел только четыре…
Уже Якоби заметил, как самое восхитительное свойство математики, что в ней одна и та же функция управляет и представлениями целого числа в виде суммы четырех квадратов, и истинным движением маятника. Эти открытия связей между разнородными математическими объектами можно сравнить с открытием связи электричества и магнетизма в физике или сходства восточного берега Америки с западным берегом Африки в геологии. Эмоциональное значение таких открытий для преподавания трудно переоценить. Именно они учат нас искать и находить подобные замечательные явления единства всего сущего.
Схема построения математической теории совершенно такая же, как в любой естественной науке. Сначала мы рассматриваем какие-либо объекты и делаем в частных случаях какие-то наблюдения. Потом мы пытаемся найти пределы применимости своих наблюдений, ищем контрпримеры, предохраняющие от неоправданного распространения наших наблюдений на слишком широкий круг явлений (пример: числа разбиений последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9 на нечетное число натуральных слагаемых образуют последовательность 1, 2, 4, 8, 16, но за этими числами следует 29).
В результате мы по возможности четко формулируем сделанное эмпирическое открытие (например, гипотезу Ферма или гипотезу Пуанкаре). После этого наступает трудный период проверки того, насколько надежны полученные заключения.
Здесь в математике разработана специальная технология, которая, в применении к реальному миру, иногда полезна, а иногда может приводить и к самообману. Эта технология называется моделированием. При построении модели происходит следующая идеализация: некоторые факты, известные лишь с некоторой долей вероятия или лишь с некоторой точностью, признаются «абсолютно» верными и принимаются за «аксиомы». Смысл этой «абсолютности» состоит ровно в том, что мы позволяем себе оперировать с этими «фактами» по правилам формальной логики, объявляя «теоремами» все то, что из них можно вывести.
Понятное дело,что ни в какой реальной деятельности полностью полагаться на подобные дедукции невозможно. Причиной является хотя бы то, что параметры изучаемых явлений никогда не бывает известными нам абсолютно точно, а небольшое изменение параметров (например, начальных условий процесса) может совершенно изменить результат. Скажем, по этой причине надежный долгосрочный динамический прогноз погоды невозможен и останется невозможным, сколь бы ни совершенствовались компьютеры и регистрирующие начальные условия датчики.
Совершенно таким же образом небольшое изменение аксиом (в которых ведь мы точно уверены быть не можем) способно, вообще говоря, привести к иным выводам, чем дают выведенные из принятых аксиом теоремы. И чем длиннее и искуснее цепь выводов («доказательств»), тем менее надежен окончательный результат.
К сожалению, обсуждение опасности фетишизирования теорем не встречаются в современных учебниках математики, даже лучших. У меня даже создалось впечатление, что математики-схоласты (мало знакомые с физикой) верят в принципиальное отличие аксиоматической математики от обычного в естествознании моделирования (всегда нуждающегося в последующем контроле выводов экспериментом).
Попытки создания «чистой» дедуктивно-аксиоматической математики привели к отказу от обычной в физике схемы (наблюдение — модель — исследование модели — выводы — проверка наблюдениями) и замена ее схемой: определение — теорема — доказательство. Понять немотивированное определение невозможно, но это не останавливает преступных алгебраистов-аксиоматизаторов.
Попытки обойтись без этого вмешательства физики и реальности в математику — сектанство и изоляционизм, разрушающие образ математики как полезной человеческой деятельности в глазах всех разумных людей.
Если математики не образумятся сами, то потребители, сохранившие как нужду в современной в лучшем смысле слова математической теории, так и свойственный каждому здравомыслящему человеку иммунитет к бесполезной аксиоматической болтовне, в конце концов откажутся от услуг схоластов-недоучек и в университетах, и в школах.
Об образовании
Мне кажется, что во всем мире образованию мешает поспешная демократизация науки. Легко создается ситуация, при которой решение принимается наименее квалифицированным большинством. Американские ученые считают, что падение уровня школьного образования в США произошло именно таким демократическим путем. Все очень просто: большинство родителей хочет, чтобы их дети были счастливы. А большинство детей, учащихся в школе, предпочитают бездельничать, не сдавать экзаменов, выбирать «легкие» предметы и т.п. Мой племянник, оканчивая среднюю школу в США, радостно заменил себе школьный курс алгебры курсом истории джаза.
Американские коллеги объяснили мне, что /низкий уровень общей культуры и школьного образования в их стране — сознательное достижение ради экономических целей. Дело в том, что, начитавшись книг, образованный человек становится худшим покупателем: он меньше покупает и стиральных машин, и автомобилей, начинает предпочитать им Моцарта или Ван Гога, Шекспира или теоремы. От этого страдает экономика общества потребления и, прежде всего, доходы хозяев жизни — вот они и стремятся не допустить культурности и образованности (которые, вдобавок, мешают им манипулировать населением, как лишённым интеллекта стадом).
…….Штат Калифорния в США недавно принял решение: поступающие в университеты штата должны уметь делить число 111 на три — без компьютера. Любопытно, что федеральное правительство попыталось запретить это требование как неконституционное. Один сенатор заявил, что он никому не позволит учить кого-либо в своей стране чему-либо, чего он не понимает.
А вот и результат. Американское математическое общество опубликовало статистику, согласно которой число учителей математики в средних школах США, умеющих делить число «полтора» на «четверть», составляет от одного до двух процентов от количества всех учителей……..
……Математика сейчас — первый кандидат на уничтожение. Компьютерная революция позволяет заменить образованных рабов невежественными. Правительства всех стран начали исключать математические науки из программ средней школы. Руководство биологического факультета университета в Геттингене обратилось к математикам с просьбой прочесть студентам курс теории чисел. Математики, сперва озадаченные этим предложением, обнаружили, что под теорией чисел биологи понимали сложение простых дробей. Многие геттингенские студенты предпочитают складывать числители с числителями и знаменатели со знаменателями, подобно американским студентам: 1/3 + 1/2 = 2/5.
Российское правительство пытается довести преподавание математики в средних школах до американских стандартов. Проект состоит в том, чтобы вдвое уменьшить число часов, отводимое на математику, а высвободившиеся часы использовать для обучения мальчиков коневодству, а девочек — макраме.
Французское министерство образования, науки и технологии предполагает втрое сократить школьные учебники математики. Конгресс США пытается запретить калифорнийским учителям сообщать школьникам, что Земля круглая и что вода может превращаться в пар, математикам хотели бы запретить учить школьников делить 111 на 3 без компьютера.
Учитывая взрывной рост всевозможных псевдонаук (вроде астрологии) во многих странах, в грядущем столетии вполне вероятно наступление новой эры обскурантизма, подобной средневековью. Hынешний расцвет науки может смениться необратимым спадом, подобным тому, который произошел с
живописью в период после итальянского Возрождения.
К несчастью, я не могу отрицать виновности математического сообщества в современном неприятии математики общественным сознанием (Л. Я. См. выше о математике и математическом образовании).
О математиках
Математики в основном бывают двух типов — «левые» и «правые». Сейчас это установлено с помощью достаточно тонких экспериментов, хотя психологи знают об этом уже добрые сто лет.
— Два полушария мозга — левое и правое — анатомически различны и «заведуют» разными областями человеческой деятельности. Грубо говоря, одно полушарие скорее «логическое и алгебраическое», а второе — «геометрическое». Левое полушарие отвечает за последовательности, например, за умножение многозначных чисел, за логические, длинные рассуждения, а правое — за то, чтобы не заблудиться в лесу и в городе, оно также заведует эмоциями. Практически любую задачу можно решать и алгебраически и геометрически. Но, как правило, одни решают так, другие иначе. Есть математики, совершенно неспособные к «правополушарному», «гуманитарному» мышлению, к образному восприятию действительности, они умеют только умножать.
И.Г.Петровский, учил меня в 1966 году: настоящие математики не сбиваются в шайки, но слабым шайки необходимы, чтобы выжить. Они могут объединяться по разным принципам (будь то сверхабстрактность, антисемитизм или «прикладная и индустриальная» проблематика), но сущностью всегда остается решение социальной проблемы — самосохранение в условиях более грамотного окружения.
В те времена я относился к словам Петровского с некоторым сомнением, но теперь я все более и более убеждаюсь, насколько он был прав. Значительная часть сверхабстрактной деятельности сводится просто к индустриализации беззастенчивого отнимания открытий у первооткрывателей и их систематическому приписыванию эпигонам—обобщателям.
Поучительно, что открытая Пуанкаре и разработанная Андроновым теория рождения предельных циклов из теряющих устойчивость положений равновесия называется сегодня обычно (даже в России) бифуркацией Хопфа. Э.Хопф опубликовал часть этой теории через пару десятков лет после публикации Андронова и более, чем через полвека после Пуанкаре, но он в отличие от них жил в Америке,
Подобно тому, как Америка не носит имя Колумба, математические результаты почти никогда не называются именами их открывателей. Проф. М. Берри сформулировал однажды следующие два принципа:
* Принцип Арнольда: Если какое-либо понятие имеет персональное имя, то это — не имя первооткрывателя.
* Принцип Берри: Принцип Арнольда применим к самому себе.
Во избежание кривотолков должен заметить, что мои собственные достижения почему-то никогда не подвергались подобной экспроприации, хотя это постоянно случалось и с моими учителями (Колмогоровым, Петровским, Понтрягиным, Рохлиным) и с учениками.
Витте
В истории России был премьер-министр с математическим образованием (окончивший Санкт-Петербургский университет по математике в школе Чебышева).
После окончания университета Витте не нашел работы по специальности и принял предложение частной компании стать начальником дистанции на Юго-Западной железной дороге. Для занятия этого поста ему пришлось по неделе простажироваться в должности каждого из своих подчиненных (стрелочника, путевого обходчика, багажного раздатчика, билетного кассира, кочегара, машиниста, начальника станции…) — неоценимый опыт для будущего премьер-министра. Однажды царский поезд, следующий в Крым, был замедлен по приказу Витте на его дистанции. Несмотря на возмущение Александра III, машинист подчинился не его приказу, а приказу своего начальника дистанции. Когда поезд перешел на следующую, уже не подчинявшуюся Витте дистанцию, скорость была, естественно, повышена. Вскоре царский поезд сошел с рельсов и опрокинулся (катастрофа у станции Борок). Царь запомнил имя непокорного начальника дистанции, и Витте был назначен министром (кажется, путей сообщения), а впоследствии стал и премьер-министром.
Но Витте лучше разбирался в реальной жизни страны и в проблемах экономики и техники, чем в политических интригах (к которым больший талант имеют люди левополушарные). С приходом к власти деятелей типа Распутина он был отправлен в отставку. Витте вновь призывался к власти для ликвидации критических ситуаций, созданных политиками (Русско-японская война, революция 1905 года), я даже предполагаю, что если бы Витте оставался руководителем России в течение следующего десятилетия, то наша история была бы совсем иной: не было бы ни мировой войны, ни революции и мы жили бы сейчас, как Финляндия или Швеция…
Конечно, сила Витте заключалась вовсе не в применении какой-либо математики («исчислений»), а в том способе мышления, который он называет «математикой-философией» и который заставляет человека с математическим образованием думать о всех реалиях окружающего мира с помощью (сознательного или бессознательного) мягкого математического моделирования. Идея о необходимости этого рода мышления для успеха в любой экономической или производственной деятельности (исключая, быть может, политические интриги) была хорошо понята уже сто лет назад
Лузин
Основатель Московского Математического общества Н. Бугаев (отец Андрея Белого) послал молодых москвичей в Париж, чтобы они выучились там новой «математике свободной воли» (у Бореля и Лебега). Эту программу блестяще выполнил Н. Н. Лузин, создавший по возвращении в Москву блестящую школу, включающую всех основных московских математиков многих десятилетий: Колмогорова и Петровского, Александрова и Понтрягина, Меньшова и Келдыш, Новикова и Лаврентьева, Гельфанда и Люстерника. Между прочим, Колмогоров рекомендовал мне впоследствии выбранную себе Лузиным в Латинском квартале Парижа гостиницу «Паризиана» (на улице Турнефор, недалеко от Пантеона). Во время Первого Европейского Математического Конгресса в Париже (1992) остановился в этой недорогой гостинице (с удобствами на уровне XIX века, без телефона и так далее). И престарелая хозяйка этой гостиницы, узнав, что я приехал из Москвы, сейчас же спросила меня: «А как там поживает мой старый постоялец, Лузин? Жалко, что он давно не навещал нас» (Лузин умер в 1950 году).
Через пару лет гостиницу закрыли на ремонт (хозяйка, вероятно, умерла) и стали перестраивать на американский лад, так что теперь этот островок XIX века в Париже уже не увидишь.
Колмогоров
Из всех учеников Лузина наиболее замечательный вклад в науку внёс, по моему мнению, Андрей Николаевич Колмогоров. Выросший в деревне у деда под Ярославлем, Андрей Николаевич с гордостью относил к себе слова Гоголя «расторопный рославский мужик».
Стать математиком он вовсе не собирался, даже уже поступив в Московский Университет, где он сразу же стал заниматься историей (в семинаре профессора Бахрушина) и, не достигнув и двадцати лет, написал свою первую научную работу.
Эта работа была посвящена исследованию земельных экономических отношений в средневековом Новгороде. Здесь сохранились налоговые документы, и анализ огромного количества этих документов статистическими методами привёл молодого историка к неожиданным заключениям, о которых он и рассказал на заседании Бахрушина.
Доклад был очень удачным, и докладчика много хвалили. Но он настаивал на другом одобрении: ему хотелось, чтобы его выводы были признаны правильными.
В конце концов Бахрушин сказал ему: «Этот доклад обязательно нужно опубликовать; он очень интересен. Но что касается выводов, то у нас, историков, для признания какого-либо вывода всегда нужно не одно доказательство, а по меньшей мере пять!»
На следующий день Колмогоров сменил историю на математику, где одного доказательства хватает. Доклад же он не опубликовал, и этот текст так и лежал в его архиве, пока, после смерти Андрея Николаевича, он не был показан современным историкам, которые признали его не только очень новым и интересным, но и вполне доказательным. Теперь этот доклад Колмогорова опубликован, и рассматривается сообществом историков как выдающийся вклад в их науку.
Андрей Николаевич Колмогоров смолоду был школьным учителем (в школе на Потылихе), и столь успешным, что надеялся, что школьники изберут его (тогда избирать — это было обычным) своим классным руководителем. Но на выборах победил учитель физкультуры — это школьникам ближе.
На Колмогорова оказанное школьниками учителю физкультуры предпочтение повлияло так: он стал гораздо больше заниматься спортом, много бегал на лыжах, плавал на лодках по далёким рекам, стал завзятым путешественником (и достиг одобрения хотя и не своих потылихинских учеников, но многих поколений сначала студентов МГУ, а потом и школьников созданного им Интерната).
Сделавшись профессиональным математиком, Колмогоров остался, в отличие от большинства из них, прежде всего естествоиспытателем и мыслителем, а вовсе не умножателем многозначных чисел (что главным образом представляется при анализе деятельности математиков незнакомым с математикой людям, включая даже Л.Д. Ландау, ценившего в математике именно продолжение счётного мастерства: пятью пять — двадцать пять, шестью шесть — тридцать шесть, семью семь — сорок семь, как я прочитал в пародии на Ландау, составленной его физтеховскими учениками; впрочем, в письмах Ландау ко мне, бывшему тогда студентом, математика не логичнее, чем в этой пародии.
Колмогорова, в отличие от многих других, прикладная, «локомотивная» математика никогда не отпугивала, и он радостно применял математические соображения к самым разным областям человеческой деятельности: от гидродинамики до артиллерии, от небесной механики до стихосложения, от миниатюризации компьютеров до теории броуновского движения, от расходимости рядов Фурье до теории передачи информации и до интуиционистской логики. Он смеялся тому, что французы пишут «Небесная механика» с заглавной буквы, а «прикладная» — с малой.
Но сам Колмогоров всегда несколько скептически относился к своей любимой математике, /воспринимая её как маленькую часть естествознания и легко отказываясь от тех логических ограничений, которые накладывают на правоверных математиков путы аксиоматически-дедуктивного метода. «Было бы напрасно, — говорил он мне, — искать в моих работах о турбулентности математическое содержание. Я выступаю здесь как физик и совершенно не забочусь о математических доказательствах или выводах своих заключений из исходных предпосылок, вроде уравнений Навье-Стокса. Пусть эти заключения не доказаны — зато они верны и открыты, а это куда важнее, чем доказать их!»
Влияние Колмогорова на всё развитие математики в России остаётся и сегодня совершенно исключительным. Я говорю не только о его теоремах, решающих подчас тысячелетние задачи, но и создании им замечательного культа науки и просвещения, напоминающего о Леонардо и Галилее. Андрей Николаевич открыл множеству людей огромные возможности употребить свои интеллектуальные усилия для фундаментальных открытий новых законов природы и общества, причём вовсе не только в области математики, а во всех областях человеческой деятельности: от космических полётов до управляемых термоядерных реакций, от гидродинамики до экологии, от теории рассеивания артиллерийских снарядов до теории передачи информации и теории алгоритмов, от стиховедения до истории Новгорода, от законов подобия Галилея до задачи трёх тел Ньютона.
Ньютон, Эйлер, Гаусс, Пуанкаре, Колмогоров — всего пять жизней отделяют нас от истоков нашей науки.
——————————————————————————————————
(Л. Я.
Вот что я прочёл среди прочего в статье А. Н. Ширяева «Жизнь в поисках истины, к 100 летию со дня рождения А.Н. Колмогорова» (http://vivococo.astronet.ru/VV/JOURNAL/NATURE/04_03/KOLMOGOROV.:
«Есть в этом дневнике (речь идёт о дневнике Колмогорова, который он вёл в эвакуации в Казани в 1943 г.) … замечательная страница, которую Колмогоров озаглавил: «Конкретный план того, как сделаться великим человеком, если на это хватит охоты и усердия» . Там по годам расписаны – до 1984-1993 (на 50 лет! вперёд в возрасте 40 лет), какие курсы разработать и когда, какими проблемами заниматься и когда, и, в частности, подготовка полного собрания сочинений к 70-летию со дня рождения и после этого написание воспоминаний о прожитой жизни.
Колмогоров, конечно, великий математик. Но после этой записи в дневнике мне не ясно, что в этом величии от науки, а что от внушения поведением. Облик Колмогорова после прочтения этой записи несколько поблёк в моём сознании.)
К. Вейерштрасс
Интересно, что в качестве учителя физкультуры в школе начинал свою деятельность другой великий математик, К. Вейерштрасс. Он, по словам Пуанкаре, особенно успешно обучал своих гимназистов работе на параллельных брусьях. Но прусские правила требовали от гимназического учителя представлять в конце года письменный труд, доказывающий его профессиональную пригодность. И Вейерштрасс представил сочинение об эллиптических функциях и интегралах. Это сочинение в гимназии никто не смог понять, так что его отправили для оценки в университет. И очень скоро автора перевели туда, где он быстро стал одним их самых выдающихся и знаменитых математиков столетия, как в Германии, так и в мире.
Из российских математиков его прямой ученицей была Софья Ковалевская, главное достижение которой, впрочем, было не подтверждением, а опровержением точки зрения учителя (который предлагал ей доказать отсутствие новых первых интегралов в задаче о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки, а она эти интегралы нашла, анализируя причины неудачи своих попыток доказать предположение любимого учителя).
Виет
Создатель современной алгебры Виет был шифровальщиком французского короля Генриха IV. Между прочим, это он обозначал редкими буквами (x, y, z) еще нерасшифрованные буквы кода противника,
Эйлер
Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда изо всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить дорогое рабочее время на гражданские смуты или религиозные распри (Л.Я. см. ниже о происхождении самого В.И. Арнольда). Так переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию и вскоре сделался достойным членом базельского «питомника гениев». Братья Бернулли увлеклись математикой, прочтя статьи Лейбница об исчислении производных и интегралов. Вскоре вокруг братьев сложился яркий математический кружок, и на полвека Базель стал третьим по важности научным центром Европы – после Парижа и Лондона, где уже процветали академии наук. Каждый год на кружке решались новые трудные и красивые задачи, а на смену им вставали новые увлекательные проблемы. Но когда ученые орлята подросли, выяснилось, что в Швейцарии не хватит места для их гнезд. Зато в далекой России, по замыслу Петра 1 и по проекту Лейбница, была учреждена в 1725 году Петербургская Академия Наук. Русских ученых не хватало, и тройка друзей: Леонард Эйлер с братьями Даниилом и Николаем Бернулли (сыновьями Иоганна) — отправилась туда, в поисках счастья и научных подвигов.
Харди и Манин
Я (Л.Я.: то есть В. И. Арнольд) хочу … процитировать одно высказывание, которое я недавно прочитал в изданной только что в Ижевске книжке Харди «Апология математика». Ужасная книжка совершенно, кошмарно безграмотный человек, который пишет, в частности, следующие вещи. Он пишет похвалу Гауссу, что Гаусс очень много занимался теорией чисел и что теория чисел справедливо называется королевой математики (я бы сказал, царицей математики даже, но он, по-моему, говорит »королевой»). Харди объясняет почему теория чисел является королевой математики. Вот это объяснение Харди, которое недавно повторил Юрий Иванович Манин, в некотором искаженном слегка виде, но почти то же самое говорил. Замечательное объяснение Харди таково: теория чисел является, он говорит, королевой математики вследствие своей полной бесполезности.
Но у Юрия Ивановича немножко не так, он объясняет другое: что математика вся вообще является резвычайно полезной наукой, не потому, что, как говорят некоторые — это я (Л.Я.: т.е. В.И. Арнольд) на самом деле, — что математика способствует прогрессу техники, человечества и так далее, нет; потому, что она препятствует этому прогрессу, вот в чем ее заслуга, вот основная проблема современной науки — препятствовать прогрессу, и математика в первую очередь это и делает, потому что, если бы ферматисты, вместо того чтобы доказывать теорему Ферма, строили самолеты, автомобили, они бы гораздо больше вреда причинили. А так математика отвлекает, отвлекает на какие-то глупые, никому не нужные задачи, и тогда все в порядке.
У Харди, между прочим, эта идея тоже присутствует, в несколько ином виде — поразительно, насколько можно быть наивным в XX веке! У Харди написано так: страшной привлекательностью математики, особенно по сравнению с физикой и химией, является то, что она «абсолютно непригодна ни для каких военных применений». У нас сейчас, конечно, другие точки зрения, может быть, Юрий Иванович и согласен с ним, но я нет. Что касается военных, то они тоже имеют совершенно другие точки зрения, и надо сказать, что Харди каким-то образом умудрялся работать с Литтлвудом, который занимался много прикладной математикой, и прилагал ее к военному делу всерьез, и Литтлвуд, конечно, никогда бы не подписался под такими глупыми словами.
Манин утверждает, что математика — своего рода лингвистика с несколько расширенным списком грамматических правил, включающим, скажем, что 1 + 2 = 3, а обучение математике — обучение очковтирательству, так как тождественными преобразованиями, которыми только и занимаются математики, открыть ничего нового нельзя.
Бурбаки
Наиболее полным современным воплощением идеи бесполезности математики является деятельность секты бурбакистов. В действительности принципы Бурбаки были сформулированы частью Монтенем, частью Декартом в XVI-XVII веке. Монтень сформулировал два принципа всей французской науки, которыми французская наука отличается от наук других стран и которыми она до сих пор руководствуется.
Первый принцип. Для того чтобы преуспеть, французский ученый должен в своих публикациях придерживаться такого правила: ни одно слово из того, что он публикует, не должно быть никому понятно, потому что, если что-нибудь будет кому-нибудь понятно, то все скажут, что это было и раньше известно, так что ты ничего не открыл. Поэтому надо писать так, чтобы было непонятно.
Монтень ссылается на Тацита, указывавшего, что «ум человеческий склонен верить непонятному». Декарт был его учеником в этом смысле, а за ним и Бурбаки пошел. Изменить все тексты так, чтобы сделать их полностью недоступными — это первый принцип.
О себе
Интерес к математике появился рано. Помню на уроке учитель дал задачку, я над ней долго думал и решил только на следующий день. Причем смог это сделать лишь я один. Это было в пятом классе. Задача, казалось бы, очень простая. Из города А в город Б и из города Б в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В 12 часов они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, а другая — в 9 вечера. Вопрос: в каком часу рассвело в этот день?.. Прекрасная задача, замечательная! На меня она произвела сильнейшее впечатление. Позже я делал разные математические открытия, но удовольствие получал точно такое же, как тогда в пятом классе, когда я нашел решение задачки со старушками..
Л.Я.
Я думаю, что в случае В. И. Арнольда сказались и его «начальные условия. Вот сведения о его семье, почерпнутые мной из его биографии в Википедиа.
* Отец Игорь Владимирович Арнольд (1900—1948), — математик и методист, доктор педагогических наук, член-корреспондент АПН РСФСР, профессор МГУ
* Дед по отцовской линии — экономист и статистик Владимир Фёдорович Арнольд (1872—?), народник, автор работ «Опыт изучения крестьянских расходов по данным 50 описаний крестьянского хозяйства Херсонского уезда» (1898), «Общие черты агрономической техники и сельскохозяйственной экономики крестьянских хозяйств Херсонского уезда» (1902) и «Политико-экономические этюды» (1904).
* В. И. Арнольд по отцовской линии — внучатый племянник писателя Б. С. Житкова (Вера Степановна Житкова (Арнольд) была матерью И. В. Арнольда).
* Мать — искусствовед, сотрудница Пушкинского музея Нина Александровна Арнольд (урождённая Исакович, 1909—1986).
* Дед по материнской линии — Александр Соломонович Исакович (расстрелян в 1938 году) — адвокат, научный сотрудник и заведующий учебной частью Одесского НИИ холодильной промышленности.
* В. И. Арнольд по материнской линии — племянник физиков Михаила Александровича Исаковича (1911—1982), заведующего теоретическим отделом Акустического института АН СССР, и Натальи Александровны Райской (урождённой Исакович, 1913—1988), редактора отдела физики Всесоюзной государственной библиотеки научной литературы, и внучатый племянник физика академика Л. И. Мандельштама (брат бабушки В. И. Арнольда — Элеоноры Исааковны Исакович, урождённой Мандельштам).
Как-то, читая биографию математика Николая Бернулли, изданную в серии «Научные биографии» в прежнем Физматгизе, я обратил внимание на замечание составителя в его предисловии: «Пример Николая Бернулли ярко показывает, как важны в жизни человека начальные условия». Дело в том, что предствители семьи Бернулли занимали кафедру в Университете Базеля в течение 150 лет. Ксатати, они также оказали большое влияние на развитие Л. Эйлера, о чём рассказывал В. И. Арнольд (см выше ). Я думаю, пример В. И. Арнольда говорит о том же.
