Автор: професор Михаил Иоелович.
В статье рассматривается история создания и распространения позиционной десятеричной системы счисления. Дается краткий обзор и других систем счисления – шестидесятеричной, двадцатеричной, двенадцатеричной и пятеричной. Обсуждается использование двоичной и некоторых других систем в устройствах вычислительной техники.
History of Science: Number Systems
Michael Ioelovich
This article discusses the history of creation and distribution of the positional decimal number system. A brief overview of other number systems — hexadecimal, twenty-decimal, duodecimal and five-decimal, is also given. The use of binary and some other systems in computing devices is also discussed.
Современный человек постоянно пользуется числами как на работе, так и в повседневной жизни. Мы складываем, вычитаем, умножаем или делим различные числа. Ученые проводят и более сложные операции с числами. В настоящее время для записи чисел человечество использует в основном позиционную десятеричную систему счисления. В этой системе используются цифры от 0 до 9 включительно, причем вклад каждой цифры зависит от ее позиции в числе. Например, если в числе ноль стоит впереди единицы, то это просто единица, а если после единицы, то это число уже десять. Написание 222 означает, что одна и та же цифра 2 может иметь разное значение — две единицы, два десятка или две сотни, в зависимости от ее позиции в этом числе. Любое число А(10) в позиционной десятичной системе можно найти с помощью суммы цифр a(n) различного разряда (n) с основанием 10:
A(10) = a(n)*10^n + a(n-1)*10^n-1 + a(n-2)*10^n-2 ….
Например, число 1957 — год запуска первого искусственного спутника, можно выразить c помощью степенного ряда с основанием 10:
1957 = 1*10^3 + 9*10^2 + 5*10^1 + 7*10^0
Столь простая, привычная и удобная система счисления не сразу получила признание и распространение, а является результатом длительного исторического развития.
Самая первая десятеричная система счисления была создана в древнем Египте во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Но она не была позиционной. Хотя в ней использовались символы цифр, позиция этих цифр в числе не означала разряд. Число выражалось как комбинация нескольких символов означающих единицу, десяток, сотню и т.д. Например, число 569 записывалось как комбинации пяти символов, означающих цифру сто, шести символов, означающих цифру десять, и девять символов, означающих единицу – всего 20 символов. Такая система была неудобной, и поэтому не получила распространения за пределами Египта.
В древней Индии, начиная с 6 века до н. э., была широко распространена система “брахми”, в которых использовались специальные символы для цифр от 1 до 9, десять, сто и тысяча. Кроме того, для знаков 100 и 1000 применялся позиционной принцип. Эта особенность брахми стала предпосылкой создания в Индии позиционной десятеричной системы нумерации. Первая известная запись с помощью брахми, в которой применяются только первые девять цифр, а десятки и сотни обозначаются теми же цифрами, что и единицы, но с разным разрядом, относится к 595 г. н.э. Позже индийский математик Ариабхата предложил записывать цифры санскритскими буквами. Нуля тогда еще не было, а вместо него на счетной доске оставлялся пустой столбец. Первый символ нуля был обнаружен в манускрипте Бакхшали 876 г. н. э. и имел вид привычного нам кружочка.
Наиболее ранние рукописи на арабском языке, содержащие индийскую позиционную запись чисел, относятся к 9-му столетию н. э. В Европу десятичная нумерация проникла из Исламского Востока, и поэтому были названы арабскими. Хотя первые записи арабско-индийскими цифрами встречаются в испанских рукописях еще в 10-м веке, новая нумерация, как и десятеричная система в целом встретила ожесточенное сопротивление в Европе со стороны инквизиции и официальной схоластической науки того времени, а также со стороны отдельных государств. Одним из первых в Европе понял преимущества новой нумерации французский богослов и математик Герберт, который в 999 году стал римским папой под именем Сильвестра II. Этот папа попытался провести реформу и ввести новую систему нумерации. Однако нововведение встретило яростный гнев со стороны инквизиции. Реформу провалили, а папа-математик вскоре умер.
Поэтому десятеричная система начинает закрепляться в Европе только с 12-го века. Убежденным сторонником использования арабско-индийской системы был известный итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи), получивший математическое образование в арабских странах. Известный французский математик, физик, астроном Пьер Симон Лаплас отмечал, что мысль — выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна.
В начале 17-го века десятеричная система проникает в Россию, но православная церковь встречает ее в штыки и объявляет новую нумерацию и систему колдовской и безбожной. Закрепилась десятичная нумерация в России только после издания в 1703 году знаменитой «Арифметики» Магницкого, в которой все вычисления в тексте производились исключительно с использованием десятичной системы счисления.
В настоящее время позиционная десятеричная система счисления распространена практически во всех странах мира. Однако для проведения компьютерных операций используется другая позиционная система счисления — двоичная, поскольку электроника реагирует лишь на две позиции – есть сигнал и нет сигнала. Конечно пользователь по-прежнему может пользоваться десятичной системой. Но в процессоре цифры десятеричной системы преобразуются в двоичный код, а после завершения операции проводится обратное преобразование двоичных чисел в десятичные A(10) с использованием следующего алгоритма:
A(10) = a(n)*2^n + a(n-1)*2^n-1 + a(n-2)*2^n-2 ….
Например, двоичное число 101010 после преобразования дает десятичное число 42.
Кроме того, в устройствах вычислительной техники используются вспомогательные системы счисления — восьмеричная и шестнадцатеричная, что позволяет сократить продолжительность операций умножения и деления.
Современным людям в повседневной жизни нередко приходится знать, как преобразовывать часы в минуты и секунды, исходя из соотношения: 1 час = 60 мин = 3600 секунд. Кроме того, нам известно, что дуга окружности измеряется в градусах, а сама окружность составляет 360 градусов. Все эти числа, кратные 60, являются наследием древней шестидесятеричной системы счисления, изобретенной шумерами и полученной в наследство древнем государствам Междуречья, древнему Египту, древней Греции, а затем и нам с вами.
Мы часто пользуемся также числом 12 и кратным ему – так, например, в году 12 месяцев, дюжина это 12 единиц, а в сутках 24 часа. Это число является наследием двенадцатеричной системы счисления, которая использовалась в древности на Ближнем Востоке, а затем в средневековой Европе.
В древнем Китае и у ряда африканских племен была употребительна пятеричная система счисления. У древних кельтов и среди индейцев ацтеков и майя была распространена двадцатеричная система. Например, майя использовали эту систему для создания и уточнения своего оригинального календаря.
Для того, чтобы понять значение числа в системе отличной от десятеричной, и превратить его в десятичное используют A(10) следующее преобразование:
A(10) = a(n)*q^n + a(n-1)*q^n-1 + a(n-2)*q0^n-2 ….
a(n) – цифра числа, n- разряд, q – основание системы, отличной от десятичной.
Например, число 360 шестидесятеричной системы соответствует десятичному числу 11160, а число 60 шестидесятеричной системы соответствует десятичному числу 360.
Число 60 двадцатеричной системы соответствует десятичному числу 120. Это же число в двенадцатеричной системе соответствует десятичному числу 72, а в пятеричной системе — десятичному числу 30.
Таким образом, для одного и того же числа в недесятеричной системе счисления уменьшение основания системы приводит к закономерному снижению величины десятичного числа.
Иллюстрация:
en.ppt-online.org
