Фермионный конденсат — норма аномалии.

   a             б

Рис.2. Сфера Ферми в разрезе (a), одночастичный энергетический спектр E(p) и функция распределения квазичастиц
по импульсам p(б) при температуре Т= 0: нормальная фермижидкость Ландау (а) — квазичастицы заполняют фер
мисферу до граничного импульса pF, определяющего двумерную поверхность сферы; аномальная фермижидкость с фер
мионным конденсатом (б) — фермиповерхность «распухает» в трехмерный слой, ограниченный импульсами pi иpf; в этом
же интервале энергия квазичастиц постоянна и равна μ.

За последние 30 лет был открыт и исследован новый класс веществ, названный сильнокоррелированными ферми системами. Их поведение принципиально отличается от нормальных ферми жидкостей и не поддается описанию в рамках
теории Ландау. Эффективная масса квазичастиц становится в сотни и тысячи раз больше той, что характерна для обычных металлов и других ферми жидкостей. К тому же она существенно зависит от температуры, магнитного поля и других внешних полей. Поскольку в теории Ландау эффективная масса определяет термодинамические, транспортные и другие свойства, то необъяснимым становится все поведение сильнокоррелиро ванных ферми систем, к которым относятся высокотемпературные сверхпроводники, металлы с так называемыми тяжелыми фермионами, квазидвумерный изотоп гелия 3Не, квазикристаллы и квантовые спиновые жидкости.

От метаморфоз в импульсном пространстве
к аномалиям свойств.

Чтобы понять суть процессов, происходящих в новых необычных веществах, рассмотрим несколько полезных для этого идей. Начнем с внешне парадоксального утверждения: «Абсолютный нуль температуры — “горячая точка” физики». Если поведение вещества при очень высоких температурах(T> 10²⁷К) породило Теорию великого объединения (ТВО), описывающую состояние вещества с максимальной степенью симметрии,то описание вещества при Т= 0 привело к возниковению «анти» ТВО теории. ТВО теория представляет изменения в системе при ее охлаждении как фазовые переходы между состояниями с различной симметрией. Под симметрией понимается сохранение свойств физической системы при каких либо изменениях или преобразованиях. Так, сферическая симметрия тела означает, что тело выглядит по прежнему, если его поворачивать в пространстве на произвольные углы. То же самое можно сказать про обычное вещество: при достаточно высокой температуре оно находится в состоянии с максимальной степенью симметрии (например, газообразном). При охлаждении, в результате тепловых процессов, происходит понижение симметрии —упорядочение, которое может проявиться в возникновении кристаллической структуры. При достижении абсолютного нуля ресурс генерацииновых состояний за счет тепловых процессов оказывается исчерпанным.Однако, как выяснилось, даже при Т= 0 возможны фазовые переходы, которые получили название квантовых. Среди них выделяются топологические фазовые переходы, рассмотренныев пионерских работах И.М.Лифшица (см., например, [2]). При этих переходах преобразуется поверхность Ферми, определяющая форму многочастичной системы в импульсном пространстве. Остановимся на топологическом фазовом переходе, переводящем нормальную ферми жидкостьв сильнокоррелированную. Напомним, что если система свободных бозе частиц при Т= 0 представляется в импульсном пространстве в виде точки в начале координат (все частицы занимают состояние с нулевой энергией и нулевым импульсом), то система свободных ферми частиц, как было отмечено ранее, занимает объем, огра ниченный сферой Ферми. Сфера Ферми имеет двумерную поверхность — поверхность постоянной энергии, ее внешняя граница при нулевой температуре разделяет свободные и занятые состояния. 

Схематическое изображение функции распределения квазичастиц по импульсам n(p) при T= 0 приведено на рис.2,а. Резкая граница ферми сферы означает отсутствие квазичастиц вне сферы и соответствует ступенчатому обрыву функции n(p) при некотором импульсе p = p_F, названном импульсом Ферми. Энергия квазичастиц Е(p) монотонно возрастает с ростом импульса и равна μ,так называемому химическому потенциалу, при p = p_F. В этой картине корреляции между частицами пока отсутствуют. Что же произойдет в системе при нарастании в ней корреляционного взаимодействия? Влиять на квантовые корреляционные эффекты в ферми системе можно за счет нескольких факторов. Можно специальным образом подобрать химический состав соединения (обычно в него входят редкоземельные или переходные металлы). Можно управлять фазовым переходом,приложив к системе магнитное поле или давление. И наконец, можно просто менять радиус ферми сферы, изменяя концентрацию квазичастиц. Во всех случаях надо добиваться, чтобы в конкуренции кинетической энергии (поддерживающей хаос в системе), энергии электростатического взаимодействия и энергии корреляционного взаимодействия (порождающей коллективные эффекты) возрастала роль последней. Когда ее доля становится достаточно большой, вклад кинетической энергии сокращается, что можно представить как увеличение эффективной массы, которое переходит в неограниченный рост и ведет к фазовому переходу. Этот фазовый переход, минимизируя корреляционную энергию, превращает ферми поверхность в ферми объем, в котором все квазичастицы приобретают одинаковую энергию μ, как это показано на рис.2,б. Можно сказать, что квазичастицы ферми объема находятся в безразличном равновесии, и отдельная квазичастица «путешествует» в этом объеме без изменения энергии. В итоге система приобретает неферми жидкостное поведение, определяемое, как было отмечено выше, неограниченным ростом эффективной массы при понижении температуры. Такой квантовый фазовый переход — по сути топологический: он связан с трансформацией ферми сферы, которая из двухмерного многообразия превращается в трехмерное [3] (см. рис.2,б). Как показал Г.Е.Воловик [4], этот фазовый переход обладает устойчивостью по отношению к деформациям ферми сферы, как, например, устойчив бублик, прославившийся своей дыркой и не желающий просто так превращаться в шар. Из рисунка видно, что ферми сфера распалась на две подсистемы: внутренняя часть шара осталась неизменной, а ферми поверхность стала трехмерной: квазичастицы этой трехмерной оболочки имеют одинаковую энергию в интервале импульсов от pi до pf, и их функция распределения непрерывным образом изменяется от 1 до 0. Тот факт, что квазичастицы разбухшей оболочки имеют одинаковую энергию, позволило авторам этого открытия В.А.Ходелю и В.Р.Шагиняну ввести для них название «фермионный конденсат» (ФК) [3].   Чем сходны и чем различаются ферми конденсат и бозе конденсат? Оба они представляют собой макроскопическое количество квазичас тиц, объединенных (сконденсированных) в одну группу, которая характеризуется одной общей для всех частиц энергией. Если для бозе конденсата это энергия Eg самого глубокого состояния, то для фермионного конденсата это энергия ферми поверхности. Иллюстрирует это различие рис.3, на котором приведен график плотности состояний, или график количества квазичастиц, занимающих малый интервал по энергии dE, от энергии E до E+ dE. Таким образом, ферми конденсат создает ту же плотность состояний в ферми объеме, что и бозе конденсат при малой энергии. Однако есть и существенное различие с бозе системой, которая при нулевой температуре становится полностью упорядоченной и чья энтропия в соответствии со знаменитой теоремой Нернста равна нулю. Квазичастицы ферми системы, находящиеся в ФК, могут перемещаться из одного состояния в другое без изменения энергии и поэтому все время «поддерживают беспорядок», что приводит к конечному значению энтропии даже при нулевой температуре. Ниже мы увидим, какую физику порождает эта остаточная энтропия и что предпринимает система, чтобы сохранить теорему Нернста.

Рис.3. Плотности состояний как функция энергии частиц,
указывающие на общую физику, управляющую бозе
и фермионным конденсатом. Плотности состояний выгля
дят одинаково, несмотря на то что пики расположены при
разных энергиях.

Штрихи к портрету
фермионного конденсата.

Отметим несколько специфических особенностей ФК [3, 5]. На рис.4 представлены схематические фазовые диаграммы ферми систем с различными типами взаимодействия между частицами: кулоновским между электронами и вандервааль
совым между атомами ³Не. В обоих случаях влияние корреляций на систему меняется с помощью варьирования плотности. В электронных системах фермионный конденсат возникает при понижении плотности, поскольку кинетическая энергия убывает быстрее кулоновской. Как только полную энергию начинает определять кулоновское взаимодействие, кинетическая энергия перестает управлять поведением квазичастиц у ферми сферы и соответствующий рост эффективной массы вызывает фермионную конденсацию. В гелиевой системе, наоборот, фермионная конденсация происходит при увеличении плотности, поскольку вандерваальсово взаимодействие резко возрастает с уменьшением расстояния между атомами, что снижает роль кинетической энергии, и дальше события следуют по кулоновскому сценарию. Поэтому, несмотря на кажущееся различие гелиевой и электронной систем, в обоих случаях
фазовый переход, как уже отмечалось, происходит при увеличении вклада корреляционной энергии. Как видно из рис.4, фазовый переход (линия красного цвета) происходит в некотором интервале плотностей, так что при уменьшении (увеличении) плотности растет объем «ферми поверхности». При приближении с понижением температуры к красной линии эффективная масса частиц неограниченно растет, что показано на рис.4 пунктирными кривыми у краев фазовых переходов. Образование ферми конденсата заставляет вещество вести себя совсем не по «ферми жидкостному». Такое «вызывающее» поведение связано с огромной эффективной массой и конечной (остаточной) энтропией при абсолютном нуле температур. Эта остаточная энтропия затем исчезает вследствие разнообразных фазовых переходов системы в «нормальные» состояния с нулевым значением энтропии (например, в ферромагнитное или антиферромагнитное, в сверхпроводящее или сверхтекучее). Реализация того или иного перехода есть итог конкуренции между ними, при которой определяющую роль играют конкретные свойства самой системы — ее состав, типкристаллической решетки (если это твердое тело), расположение атомов в решетке и прочие особенности. Сценарий уничтожения остаточной энтропии разыгрывается так, чтобы в финале, приT= 0, система оказалась в состоянии с наименьшей энергией и нулевой энтропией. Подобное поведение наблюдается экспериментально и выражается в огромном разнообразии фазовых переходов, которые претерпевают сильнокоррелированные ферми системы с понижением температуры, и все «страдания» — ради того, чтобы подчиниться строгой теореме Нернста! Причем это разнообразие, как мы увидим, не нарушает универсального поведения сильнокоррелированных систем. Переход в состояния с нулевой остаточной энтропией может осуществить и магнитное поле, которое, взаимодействуя с магнитными моментами квазичастиц, запрещает их свободное перемещение внутри ферми объема, занятого ФК, в результате чего остаточная энтропия обращается в нуль. С другой стороны, в металле может существовать ненулевое магнитное поле, сформированное каким либо «посторонним» фазовым переходом, который выстраивает магнитные моменты электронов в определенный порядок. Иногда наложением внешнего магнитного поля можно полное поле внутри металла сделать равным нулю, разрушив соответствующее упорядочение магнитных моментов.

Рис.4. Фазовые диаграммы «температура—плотность» для электронов (слева)
и масса—плотность для ³Не (справа). Режим фермижидкости Ландау (ЛФЖ)
выделен голубым цветом, области нефермижидкостного поведения обозначены
НФЖ, критическая линия фермиконденсатного квантового фазового перехода
показана красным. Кривые пунктирные линии демонстрируют расходимость эф
фективной массы квазичастиц при приближении системы к фазовому переходу.
Эффективная масса квазичастиц приведена в относительных единицах. Ферми
онный конденсат (ФК) образуется при плотности x_FC.

Рис.5. Схематическая фазовая диаграмма «температура — магнитное поле» для сильнокоррелированной фермисистемы . Вс0— критическое поле фермиконденсатного квантового фазового перехода; горизонтальная пунктирная и вертикальная сплошная стрелки демонстрируют управляемые переходы между не фермижидкостным (НФЖ) и ландауфермижидкостным (ЛФЖ) режимами. Переходная между этими режимами область показана розовым. Буквами СП(сверхпроводимость), СТ (сверхтекучесть), ФМ (ферромагнетизм) и АФМ (антиферромагнетизм) обозначены области возможного развития этих состояний, порожденных соответствующими фазовыми переходами. На вставке приведен график универсальной зависимости нормированной эффективной массы квазичастиц от нормированной температуры.

Такое поле (Вс0) называют критическим, в некоторых металлах оно переводит сильнокоррелированную электронную жидкость в состояние ФК. Поскольку эффективная масса электрона (величина которой, напомним, зависит от температуры) в этом случае становится большой, подобные металлы называют металлами с тяжелыми фермионами. На рис.5 приведена схематическая фазовая Т—В диаграмма сильнокоррелированной электронной жидкости (В— индукция магнитного поля). Как мы видели выше, состояние ФК, имеющее остаточную энтропию, устраняется различными фазовыми переходами. Переходная область на фазовой диаграмме разделяет области ферми жидкостного и неферми жидкостного поведения. Система может быть обратимо переведена из одного режима в другой путем изменения магнитного поля (горизонтальная стрелка) или температуры (вертикальная стрелка). Этот факт может найти практическое применение в устройствах спинтроники как переключатель из одного магнитного состояния в другое.

Такое поле (Вс0) называют критическим, в некоторых металлах оно переводит сильнокоррелированную электронную жидкость в состояние ФК. Поскольку эффективная масса электрона (величина которой, напомним, зависит от температуры) в этом случае становится большой, подобные металлы называют металлами с тяжелыми фермионами. На рис.5 приведена схематическая фазовая Т—В диаграмма сильнокоррелированной электронной жидкости (В— индукция магнитного поля). Как мы видели выше, состояние ФК, имеющее остаточную энтропию, устраняется различными фазовыми переходами. Переходная область на фазовой диаграмме разделяет области ферми жидкостного и неферми жидкостного поведения. Система может быть обратимо переведена из одного режима в другой путем изменения магнитного поля (горизонтальная стрелка) или температуры (вертикальная стрелка). Этот факт может найти практическое применение в устройствах спинтроники как переключатель из одного магнитного состояния в другое.

От теории к реальности…

Физика — наука экспериментальная. Какие же существуют доказательства реальности фермионного конденсата на опыте? Их поиск облегчается тем, что ФК, возникающий как следствие топологического (и квантового — поскольку происходит при нулевой температуре) фазового перехода, наделяет соответствующую систему универсальным поведением, которое проявляют самые разнообразные вещества. Главная особенность систем с ФК — одинаковая зависимость эффективной массы от температуры и магнитного поля — позволяет не только привести экспериментальные доказательства, но и объяснить удивительно похожее поведение множества самых разных систем. Эта особенность эффективной массы системы с ФК дает возможность положить ее в основу экспериментального подтверждения теории сильнокоррелированной ферми жидкости. Отметим, что концепция фермионного конденсата обобщает теорию ферми жидкости Ландау. Сохранив один из самых важных элементов теории Ландау — понятие квазичастиц, новая теория наделила квазичастицы принципиально новым качеством: их эффективная масса стала сильно зависеть от температуры, наложенного на систему магнитного поля, давления и других факторов. Именно это свойство ложится в основу сложной зависимости характеристик системы от температуры и магнитного поля, а также обеспечивает универсальный характер этой зависимости. На рис.6, слева показаны результаты измерения величины, пропорциональной эффективной массе: электронной теплоемкости, деленной на температуру (Cel/T), при различных магнитных полях. Как видно из графиков, при низких температурах эффективная масса квазичастицы постоянна: магнитное поле достаточно сильно, чтобы разрушить влияние ФК и восстановить в правах теорию ферми жидкости Ландау. Затем, с ростом температуры,масса достигает максимума и начинает убывать. Эта переходная область соответствует ослаблению действия магнитного поля и отделяет режим ферми жидкости Ландау от неферми жидкостного, когда эффективная масса начинает зависеть оттемпературы. Из теории ФК следует, что эффективная масса обладает свойством масштабируемости, или скейлинга. Если нормировать Cel/Tна ее значение в какой-нибудь точке, например в точке максимума, а температуру, соответственно, — на значение, при котором отношение Cel/T максимально, то поведение нормированной величины будет описываться некоей универсальной функцией, совпадающей с аналогичным образом нормированной функцией эффективной массы. Эта функция не зависит от химического состава образца, приложенного магнитного поля, плотности квазичастиц, конкретного типа фермионов и т.д. Из теории Ландау известно, что многие физические характеристики ферми систем зависят от эффективной массы квазичастиц — значит, и они обладают скейлинговым поведением. На рис.6, справа приведены нормированные графики Cel/T; как и следовало ожидать, они совпадают друг с другом, об наруживая скейлинг в очень широком диапазоне — при изменении нормированной температуры более чем на три порядка. Поведение нормированной эффективной массы квазичастиц иллюстрируется вставкой на рис.5, где приведена ее теоретическая зависимость от температуры при различных значениях магнитного поля, в которое помещена рассматриваемая система. Расчетная кривая из этой вставки наложена на экспериментальные данные, показанные на рис.6, справа. Хорошее согласие теории с экспериментом служит доказательством существования ФК. На рис.7 приведены кривые зависимости нормированной эффективной массы от нормированной температуры, извлеченные из измерений теплоемкости, магнитной восприимчивости, сопротивления, коэффициента объемного расширения ряда металлических сплавов, а также энтропии тонких пленок ³Не. Видно, что все кривые хорошо совпадают друг с другом и с универсальной функцией, вычисленной в теории ФК.

Рис.6. Зависимость электронной теплоемкостиС_el, деленной на температуру Т,для металла с тяжелыми фермионами YbRh₂Si₂ как функция температуры для различных значений магнитного поля В(слева); то же после масштабирующегопреобразования (правая панель). Сплошная линия — наш расчет [6].

Рис.7. Температурные зависимости нормированной эффективной массы, найденной из теплоемкости и магнитной восприимчивости металла с тяжелыми
фермионами YbRh₂(Si₀.₉₅Ge₀.₀₅)₂, магнитной восприимчивости для CeRu₂Si₂, теплоемкости CePd_0. 2Rh_0., сопротивления CeCoIn₅, коэффициента объемного расширенияCeNi₂Ge₂ и энтропии для ³Не. Когда вдоль оси x откладывается температура,нормированная на значения, при которых эффективная масса максимальна,кривые сливаются в одну, демонстрируя скейлинговое поведение, предсказываемое теорией (сплошная кривая).

…и к конкретным проблемам.

В качестве примера применения отметим недавние достижения теории фермионного конденсата в выявлении и описании квантовой спиновой жидкости в минерале гербертсмититеZnCu₃(OH)₆Cl₂

и объяснении термодинамических свойств квази кристаллаAu₅₁Al₃₄Yb₁₅. Обе эти задачи имеют многолетнюю драматическую научную историю и достойны отдельных статей. Мы же лишь кратко остановимся на применении теории ФК к этим покаеще очень необычным объектам. В 1973 г. Ф.Андерсон выдвинул гипотезу о возможности существования спиновой жидкости [7],в которой не сами частицы сильно взаимодействуют и движутся неупорядоченно, а их спины.Идея положила начало экспериментальным поискам спиновых жидкостей в природных объектах и теоретическому изучению ее гипотетических свойств. Поиск увенчался успехом лишь в последние годы, когда были проведены прецизионныеисследования нового минералаZnCu₃(OH)₆Cl₂, получившего название гербертсмитита в память о минерологе Г.Смите. Эксперименты по измерению теплоемкости и магнитной восприимчивости, теоретический анализ этих характеристик,а также прямое наблюдение квазичастиц спинонов в опытах по рассеянию нейтронов на этомкристалле в 2012 г. позволили заключить, что он содержит экзотическую квантовую спиновую жидкость [8]. Гербертсмитит — изолятор со слоистой структурой, в каждом слое которой реализована плоская кагоме решетка (названная так из за внешнего сходства с узором японской плетенки) с ионами меди Cu⁺² со спином 1/2 в вершинах равносторонних шестиугольников. Математическое исследование энергетических спектров кагоме решетки показало, что существует плоская, бездисперсионная ветвь, идентичная энергетическому спектру фермионного конденсата. В связи с этим вполне естественно рассмотреть модель сильнокоррелированной ферми жидкости, состоящей из электрически нейтральных частиц, обладающих полуцелым спином, —спинонов. Проведенные в рамках теории ФК расчеты [9], результаты которых показаны вместе с экспериментальными данными на рис.8, хорошо описывают термодинамику гербертсмитита и демонстрируют, что квантовая спиновая жидкость в этом минерале обладает скейлинговыми свойствами и характеризуется универсальным поведением, специфическим для металлов с тяжелыми фермионами. Это поведение отмечено важным исключением: гербертсмитит — изолятор, т.е. не проводит электрический ток. Термодинамические свойства изоляторов,как известно, кардинально отличаются от соответствующих свойств металлов, что делает гербертсмитит с его «металлическим» характером изолятором и магнитом нового типа.

Рис.8. Нормированная эффективная масса, определенная
по измерениям С_el/Тна металле с тяжелыми фермионами YbRh₂Si₂ и магнитной восприимчивости χдля гербертсмититаZnCu₃(OH)₆Cl₂, как функция нормированной температуры при различных значениях магнитного поля, указанныхв прямоугольниках. Скейлинговое поведение: кривые совпадают друг с другом и с вычисленной нами зависимостью (сплошная линия) при относительно невысоких значенияхнормированной температуры (< 4); в сильных магнитных полях это поведение разрушается.

Рис.9. Нормированная эффективная масса, извлеченная из измерений С_el/Т на металле с тяжелыми фермионамиYbRh₂Si₂ и из магнитной восприимчивости χ для квазикристаллаAu₅₁Al₃₄Yb₁₅ как функция температуры при различных магнитных полях. Все кривые совпадают друг с другом и с результатами расчета (сплошная линия).

А в 1982 г. Д.Шехтман получил рентгеновский спектр сплава, который свидетельствовал, что у объекта есть ось симметрии пятого порядка, т.е. поворот его вокруг этой оси на угол 360°/5 = 72° был тождественным преобразованием. Кроме того, у образца наличествовал дальний порядок, но отсутствовала трансляционная симметрия [10]. Полученный результат показывал, что в руки исследователей попал не кристалл, а что то иное.
В итоге такие структуры получили название квазикристаллов, а Шехтман — Нобелевскую премию за 2011 г. Примечательно, что вначале его результаты отказывались даже публиковать, а дважды лауреат Нобелевской премии Л.Полинг утверждал: «Нет квазикристаллов, есть квазиученые». Исследование квазикристаллов сейчас — чрезвычайно интересная задача хотя бы потому, что они занимают некоторое промежуточное положение между кристаллами и аморфным веществом. В наше время ученые вооружились технологиями выращивания высококачественных кристаллов и квазикристаллов, а также техникой, позволяющей проводить измерения при температурах до 10 мкК в магнитных полях величиной в десятки тесла. Поэтому только теперь появились надежные экспериментальные данные о термодинамических и транспортных характеристиках ряда веществ. В частности, были обнаружены пиковые плотности состояний (аналогичные приведенным на рис.3) в квазикристалле Au₅₁Al₃₄Yb₁₅, а измерения магнитной восприимчивости как функции температуры и магнитного поля показали,что электронная система этого соединения ведет себя каксильнокоррелированная. Анализ экспериментальных данных в рамках теории ФК показал, что квазикристалл данного типа ведет себя аналогично металлам с тяжелыми фермионами [11]. На рис.9 приведена иллюстрация сказанному:расчеты в рамках теории ФК сравниваются c поведением нормированной эффективной массы,извлеченной из эксперимента.

* * *
В заключение отметим, что область физических систем, рассматриваемых в рамках теории фермионного конденсата, может быть расширена. Среди «кандидатов» можно упомянуть нейтронные звезды, атомные кластеры, ультрахолод
ные газы в ловушках, ядра, кварк глюонную плазму и даже Вселенную, жизнь в которой возможна благодаря отсутствию в ней антивещества. Вполне вероятно, что антивещество устраняется фермионным конденсатом. Успешное объяснение разнообразных свойств металлов с тяжелыми фермионами, квантовой спиновой жидкости, квазикристаллов и ряда других веществ свидетельст
вует, что теория фермионного конденсата предлагает неожиданно простое и надежное описание сильнокоррелированных ферми систем, которые из редких лабораторных образцов превращаются в широкий класс новых, технологически перспективных и самых разнообразных материалов.

Литература

1. Ландау Л.Д.Теория ферми жидкости // ЖЭТФ. 1956. Т.30. С.1058—1067.
2. Каганов М.И., Лифшиц И.М.Электронная теория металлов и геометрия // УФН. 1979. Т.129. С.487—529.
3. Ходель В.А., Шагинян В.Р.Сверхтекучесть в системах с фермионным конденсатом // Письма в ЖЭТФ. 1990.
Т.51. Вып.9. С.488—490.
4. Воловик Г.Е.О новом классе нормальных ферми жидкостей // Письма в ЖЭТФ. 1991. Т.53. Вып.4.
С.208—211.
5. Khodel V.A., Shaginyan V.R., Khodel V.V.New approach in the microscopic Fermi system theory // Physics Reports.
1994. V.249. P.1—134.
6. Shaginyan V.R., Amusia M.Ya., Msezane A.Z., Popov K.G.Scaling behavior of heavy fermion metals // Physics
Reports. 2010. V.492. P.31—109.
7. Anderson P.W.Resonating valence bonds: A new kind of insulator? // Mater. Res. Bull. 1973. V.8. №2. P.153—160.
8. Han T., Helton J.S., Chu S. et al.Fractionalized excitations in the spin liquid state of a kagome lattice
antiferromagnet // Nature. 2012. V.492. P.406—410.
9. Shaginyan V.R., Msezane A.Z., Popov K.G. et al.Identification of strongly correlated spin liquid in herbertsmithite //
Europhysics Lett. 2012. V.97. P.56001—56006.
10.Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn J.Metallic phase with long range orientational order
and no translational symmetry // Phys. Rev. Lett. 1984. V.53. №20. P.1951—1954.
11.Shaginyan V.R., Msezane A.Z., Popov K.G. et al.Common quantum phase transition in quasicrystals
and heavy fermion metals // arXiv:1302.1806.