Профессор, д.х.н. Михаил Иоелович
Данная статья посвящена возможности описания и изменения формы различных графиков и фигур как в плоскости, так и в пространстве с помощью простых уравнений. Даны примеры уравнений и расчетов.
Graphics game
Michael Ioelovich
This article is devoted to possibility of describing and changing the shape of various graphs and figures both in the plane and in space using simple equations. Examples of equations and calculations are given.
Профессиональный художник может нарисовать любой график, любую фигуру и даже картину. Но для большинства людей это является проблемой, даже при насущной необходимости, например, если требуется иллюстрировать идею, лекцию, статью, книгу или проект. В этом случае можно использовать специальные компьютерные программы, задавая координаты множества точек, принадлежащих данной фигуре в двухмерной декартовой системе (в плоскости) {xn, yn} или в трехмерной ортогональной системе координат {xn, yn, zn}. Например, точку M на плоскости выражают парой чисел-координат (x, y), а в пространстве – тремя координатами (x, y, z).
ImageImage
Рис. 1. Координаты точки в плоскости (слева) и в пространстве (справа)
Альтернативным вариантом является описание формы фигуры с помощью уравнений. Самое простое — это получение прямой линии. Уравнение прямой в плоскости имеет следующий вид:
y = kx + C.
Подставляя в это уравнение значения x, коэффициент наклона k и постоянную С, можно легко нарисовать график прямой. Например, если k=2, а С=1, получим прямую y=2x+1 (Рис. 2):
Если заданы координаты двух точек линии (x1, y1) и (x2, y2), то для ее построения можно использовать следующее уравнение прямой:
y = k(x-x1) + y1, где k = (y2-y1)/(x2-x1).
Прямолинейные зависимости широко распространены в различных физических явлениях. Например, сила притяжения (вес) любого тела (F) прямо пропорциональна его массе (m):
F = gm, где g – постоянное ускорение силы тяжести.
Примером нелинейной зависимости на плоскости является уравнение:
y= A/(x + b), где A, b =const.
Когда x=0, y=A/b=const. В частном случае, когда b=0, эта зависимость становится гиперболической, для которой характерно асимптотическое приближение к осям ординат:
y= A/x
Например, если A=10, а x>0, то график зависимости будет иметь следующий вид (Рис. 3).
Гиперболические зависимости также широко распространены в различных физических явлениях. Например, согласно закону Ома, при постоянном напряжении (V) сила тока (I) обратно-пропорциональна сопротивлению проводника (R):
I = V/R
Степенное уравнение в декартовых координатах имеет следующий вид:
y=Ax^n + C, где n>1
Частным случаем такого уравнения является параболическая зависимость, когда n=2 (Рис. 4).
Известно, что по параболе вида y = x tgφ — Cx^2 (где φ – угол старта по отношению к горизонту) могут двигаться снаряды и баллистические ракеты. Траектории комет и астероидов, проходящих вблизи Солнца на достаточно большой скорости, также имеют форму параболы.
Экспоненциальные зависимости могут выражаться различными уравнениями, например:
y1=A exp(kx); y2= A exp(kx^n); y3= A exp(-kx^n); y4= A (1- exp(-kx^n)); (k>1); etc.
Эти уравнения дают возможность рассчитывать кривые различного вида – резко возрастающие, резко убывающие, S-образные и др. Например, зависимость y4=f(x) при k=10 и n=2 имеет S-образную форму с насыщением (Рис. 5). Такую форму имеют графики различных физических явлений, например, зависимость мономолекулярной адсорбции от давления паров или концентрации сорбата, зависимость намагниченности парамагнетиков от напряжения магнитного поля, зависимость фототока от интенсивности светового потока и др.
Форма таких распространенных геометрических фигур как окружность и эллипс может быть выражена простыми уравнениями. Окружность с радиусом R и центром в точке с координатами (a, b) описывается следующим уравнением:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2, отсюда
y = b ± [R^2 – (x-a)^2]^0.5
Рис. 6
Эллипс в декартовой системе координат описывается уравнением:
(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1, отсюда
y = ± b [1 – (x/a)^2]^0.5
где a – большая полуось, b — малая полуось эллипса.
Фокальное расстояние эллипса c = |F1F2|/2 = a [1- (b/a)^2]^0.5 (Рис. 7).
Эллипсы встречаются в физике, космонавтике и астрономии. Например, фигуры Лиссажу в случае равенства частот гармонических колебаний представляют собой эллипсы. В солнечной системе орбиты планет, карликовых планет пояса Койпера, некоторых астероидов и комет имеют форму эллипса. Большинство спутников вращается вокруг Земли также по эллиптическим орбитам.
Известными геометрическими фигурами являются треугольники и многоугольники. Чтобы построить прямоугольный треугольник OAB достаточно задать координаты трех точек, например, О(0, 0); A(0, a); B(a, 0), и затем соединить эти точки прямыми линиями. На рис. 8 показаны точки такого треугольника, когда значение а=5.
Треугольники, построенные по точкам с координатами О(0, 0); A(a/2, a(0.75)^0.5); B(a, 0) и О(0, 0); С(a/2, -a(0.75)^0.5); B(a, 0), будут равносторонними со стороной длиной а. Соединение четырёх точек O, A, B, C этих треугольников прямыми линиями позволяет построить квадрат или равноугольный ромб со стороной а.
Аналогичным способом, задавая координаты точек и соединяя эти точки линиями, можно построить как правильные, так и неправильные многоугольники.
Пространственные фигуры имеют разнообразную форму. Наиболее известными из них являются цилиндр, конус, шар (сфера), эллипсоид, параболоид, гиперболоид и некоторые другие. Точки, прямые, кривые и плоскости, также могут быть помещены в трехмерное пространство.
Уравнение прямой линии в трехмерном пространстве, проходящей через две точки с координатами (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2), будет следующим:
(z –z1)/(z2 –z1) = (y – y1)/(y2-y1) — (x-x1)/(x2–x1) или
z = Ay – Bx + C
где A= (y2-y1)/( z2 –z1); B = (x2-x1)/( z2 –z1); C= (z1 + Bx1 – Ay1)
Плоскость в трехмерном пространстве характеризуется уравнениями:
A x + B y + C z + D = 0
A(x – xо) + B(y — yо) + C(z – zо) = 0
где xо, yо, zо – координаты точки плоскости.
Для построения различных пространственных фигур используют следующие уравнения.
Для круглого цилиндра радиусом R:
x^2 + y^2 = R^2
Для эллиптического цилиндра с полуосями a, b (a> b):
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
Для конуса:
x^2/a^2 + y^2/b^2 — z^2/c^2 = 0
Для шара (сферы) радиусом R:
(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2
где a, b, c – координаты центра шара.
Для эллипсоида:
x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1
Для эллиптического параболоида:
x^2/a^2 + y^2/b^2 – 2z = 0
Для гиперболоида:
x^2/a^2 + y^2/b^2 — z^2/c^2 =Image 1
Используя координаты точек и уравнения прямых, кривых, плоских и пространственных фигур, можно получить их компьютизированные изображения как по отдельности, так и в сочетании и использовать для иллюстрации идей, лекций, статей, книг и проектов.
Иллюстрация: 900igr.net
