СПРАВКА:
Курт Фридрих Гёдель (нем. Kurt Friedrich Gödel; 28 апреля 1906, Брюнн, Австро-Венгрия — 14 января 1978, Принстон, Нью-Джерси) — австрийский логик, математик и философ математики. Наиболее известен сформулированными и доказанными им теоремами о неполноте, которые оказали огромное влияние на представление об основаниях математики. Считается одним из наиболее выдающихся мыслителей XX века.
Член Национальной академии наук США (1955), иностранный член Лондонского королевского общества (1968).
Лауреат Эйнштейновской премии (1951). Удостоен Национальной научной медали США (1974).
****
Есть довольно популярный вопрос, который часто возникает у
любителей популярной науки и во многом следует из здравой логики. Звучит
он так: А как вообще математика что-то доказывает? Как строится эта
странная логика и почему можно говорить, что, например, математические
выкладки Эйнштейна имеют и физический смысл? Ведь по сути человек
просто записал цифры и обработал их по какому-то странному механизму.
Это очень хороший и невероятно интересный вопрос! Давайте
попробуем найти простой ответ, хотя будет и сложно. На удивление,
тут очень много можно осознать, если изучить логику теоремы Гёделя о
неполноте.
Если спойлерить (простите уж за такое не очень научное словечко)
дальнейший материал из статьи, то получится, что математика пыталась
завязаться на ряде неопровержимых аксиом и тогда математическая физика
не была оторвана от действительности, но потом пришёл Гёдель и сказал —
хм, ну так в любой системе, как не крути, останутся белые пятна, которые
могут стереть всю логику изысканий. Но давайте разбирать вопрос
поэтапно.
Древнегреческие философы, включая Сократа, Платона и Аристотеля,
задавались вопросом: «Как мы познаём истину?» Этот вопрос породил идею
сформулировать несколько постулатов или аксиом, истинность которых
была бы признана всеми, а затем, используя логику, вывести другие истины.
Это легло в основу евклидовой геометрии, которая была разработана
для определения всех истин в планиметрии на основе пяти основных
постулатов. Изучая геометрию в старших классах, вы узнавали множество
теорем, которые были истинными, поскольку были выведены из этих
основных аксиом.
Древние математики искали систему аксиом, из которых можно было
бы вывести все математические истины, и эти поиски продолжались и
после эпохи Возрождения.
Математика — это совокупность теорем, выводимых путём дедукции из
набора основных априорных предположений, называемых аксиомами .
Последовательность выводов, ведущих от аксиом к формулировке теоремы,
называется доказательством этой теоремы. Таким образом, математику
можно рассматривать как совокупность доказательств или связей между
априорными «предположениями» и неизбежными выводами.
Когда математические исследования возродились в эпоху Возрождения,
аксиоматическая структура математики, введенная Евклидом, продолжала
оставаться основой достоверности и «истины» в геометрии. Однако
интуитивная природа аксиом, вызывавшая проблемы в геометрии, также
вызывала трудности и в других областях математики.
Алгебра и анализ, подобно геометрии, также опирались на интуитивные
понятия, которые не были четко определены, а доказательства не были
строгими в современном смысле. Развитие Ньютоном исчисления с
использованием «флюксий» основывалось на интуитивных представлениях
о движении и изменении, а не на точно определенных концепциях.
По мере того, как математика начала углубляться в область
бесконечных величин, сходимости и пределов, формальная манипуляция
символами часто приводила к противоречиям.
Математики все больше осознавали важность проверки всех аксиом на
предмет скрытых предположений, которые впоследствии могли привести к
противоречиям. Даже теория чисел, известная как «высшая арифметика»,
подверглась пристальному вниманию.
В 1889 году Джузеппе Пеано опубликовал набор из девяти аксиом,
точно сформулированных на языке теории множеств. Эти аксиомы были
призваны упрочить положение алгебры, заменив все интуитивные
представления о целых числах однозначно сформулированными свойствами.
Но в 1899 году Давид Гильберт аналогичным образом пересмотрел
аксиомы Евклида, заменив интуитивные понятия точно
сформулированными свойствами, связывающими точки, плоскости и
прямые.
Пересмотр аксиом Евклида был частью так называемой программы
Гильберта. В 1920 году Гильберт предложил начать новый
исследовательский проект, преследующий две цели:
Подкрепить всю математику конечным набором аксиом.
Разработать «метаязык», который можно было бы использовать для
доказательства непротиворечивости этих аксиом.
Математики, следовавшие подходу Гильберта, придерживались идеи о
том, что математику можно свести к правилам манипулирования
формулами без какого-либо обращения к их смыслу. Представители этой
так называемой формалистической школы считали, что математические
символы и правила вывода, определяющие их взаимосвязи, составляют
совокупность математического мышления.
В то время как Гильберт пытался добиться строгости, показывая, что
вся математика может быть выведена из набора базовых аксиом и простых
правил вывода, без использования понятий числа или множества, Готлоб
Фреге и Бертран Рассел пытались использовать теоретико-множественный
язык и формальную символическую логику для достижения абсолютной
строгости. Последователи этой последней философии считались
представителями школы логицистов.
Когда Гёдель опубликовал свои теоремы о неполноте в 1931 году, их
значение осталось незамеченным широким математическим сообществом.
Его теорема гласила:
В любой математической системе, достаточно сложной, чтобы
содержать простую арифметику, существует неразрешимое
утверждение, то есть утверждение, которое недоказуемо и отрицание
которого недоказуемо.
Те, кто работал над основаниями математики, вскоре осознали далеко
идущие последствия его мощной теоремы и следствия. Джон фон Нейман,
опубликовавший «Аксиоматизацию теории множеств» в 1928 году, был
одним из первых, кто осознал «истинность и важность работы Гёделя».
Стало очевидно, что цели формалистской школы Гильберта и
логицистской школы Рассела недостижимы. Это поистине разрушило мечты
Гильберта и Рассела, посвятивших значительную часть своей жизни
стремлению к недостижимой цели.
В 1978 году в статье в газете The New York Times теорема Гёделя была
названа «важнейшей математической истиной этого столетия,
непостижимой для неспециалистов и революционной для философов и
логиков». Сегодня многие исследователи искусственного интеллекта
ссылаются на теорему Гёделя, чтобы предположить, что ИИ основан на
внутренних логических схемах компьютера и, следовательно, может иметь
врождённые ограничения.
П.с.: И нет, я не отрицаю теорию относительности и прочие сугубо
математические теории. Во многом та же идея из теории относительности
уже успела получить некоторые подтверждения. Но при этом не факт, что
она (как и другие идеи) окажется полноценной. Мы подошли в итоге к
ситуации, что любая сложная математика всегда будет иметь белые пятна.
Иллюстрация: Хабр
https://dzen.ru/a/aHkqebZzJw4gDVJq?from_site=mail
Подготовил и прислал академик, профессор, д.т.н. Александр Болштянский
